# A Verilog HDL Primer by J. Bhasker

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Metamathematics, machines and Goedel's proof

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Questa tecnica fu poi ampiamente utilizzata da Lukasiewicz [Luk20] e Post[Pos21], a cui si deve anche la sua generalizzazione a sistemi logici con pi` u di due valori di verit`a. 10 George Boole, The mathematical analysis of Logic (1847) e An investigation of the laws of thought (1854). 11 Augustus De Morgan, Formal Logic (1847) e Syllabus of a Proposed System of Logic (1860). 29 Per un’introduzione all’argomento si vedano, tra gli altri, [RT58, Urq86]. In generale, logiche a pi` u valori vengono utilizzate per rappresentare e manipolare informazioni incerte.

In modo equivalente, `e possibile 44 aggiungere dei puntatori da ogni regola che prevede cancellazione alle ipotesi cancellate durante l’applicazione della regola stessa. 3 Sistemi Assiomatici L’idea alla base dei Sistemi Assiomatici5 `e quella di accettare come unica regola di inferenza il modus ponens (→ e) A, A → B B introducendo opportuni assiomi (particolari formule logiche di cui si assume la verit` a) in sostituzione delle altre regole. Supponiamo per il momento di accettare non solo il modus ponens, ma anche la regola di introduzione del connettivo di implicazione: (→ i) se A A→B B allora Si noti che la congiunzione di queste due regole implica che A B se e solo se A→B Come conseguenza, ogni ipotesi A B di una regola condizionale pu`o essere rimpiazzata da A → B.

Il problema in questo caso `e pi` u sottile, e legato al fatto che intuitivamente si `e portati a leggere l’implicazione A → B come una asserzione di inferibilit`a, cio`e il fatto che da A siamo in grado di concludere B mediante un qualche ragionamento logico. Ovviamente, questa relazione di inferibilit`a, che verr`a trattata formalmente nel prossimo capitolo, appartiene ad un livello metalinguistico. Dunque, il problema si riflette a questo livello. Indichiamo informalmente con A B il fatto che siamo in grado di “concludere” B dalla ipotesi A.