Einführung in die angewandte Geometrie by Oswin Aichholzer, Bert Jüttler

By Oswin Aichholzer, Bert Jüttler

Das Buch ist an der Schnittstelle zwischen linearer Algebra und rechnerischer Geometrie angesiedelt. Einerseits werden die klassischen Geometrien (euklidisch, affin, projektiv, nicht-euklidisch) mit Mitteln der linearen Algebra behandelt. Andererseits werden grundlegende Strukturen der rechnerischen Geometrie (Splinekurven, Mittelachsen, Triangulierungen) und algorithmische Methoden diskutiert. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den geometrischen Eigenschaften, gleichzeitig werden auch relevante algorithmische Konzepte vorgestellt. Zahlreiche Übungsaufgaben (mit Lösungshinweisen) ergänzen die Darstellung.

Das Buch eignet sich für Studierende aus den Fachrichtungen Mathematik, Informatik, Maschinenbau, Bauingenieurwesen und verwandter Studiengänge ab dem zweiten Semester. Es kann als Lehrbuch verwendet werden oder als ergänzende Literatur für Grundvorlesungen über angewandte Geometrie, analytische Geometrie, rechnerische Geometrie (Computational Geometry) sowie laptop Aided Geometric layout.

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Seien n der Parameter, der die Größe der Eingabe darstellt (z. B. die Anzahl der Kanten eines Polygons), und f (n) ∶ N → R eine Funktion, die den Rechenaufwand (Anzahl elementarer Rechenschritte) eines gegebenen Algorithmus in Abhängigkeit von n beschreibt. Dabei wird f (n) für die meisten (nicht-trivialen) Algorithmen eine sehr komplexe und schwer zu beschreibende Funktion sein. Sei daher g(n) ∶ N → R eine „einfache“ Funktion, mit der man f (n) nach oben abschätzen kann. Da man bei Algorithmen im Wesentlichen an deren Verhalten bei zunehmender Problemgröße interessiert ist, erhalten wir folgende formale Definition.

Alternativ kann die Mittelachse auch als die Menge aller Mittelpunkte leerer, maximaler und offener Kreisscheiben im Inneren des Polygons definiert werden. Maximal bedeutet dabei, dass eine Kreisscheibe nicht vollständig in einer zweiten, ebenfalls leeren Kreisscheibe enthalten sein darf. Leer und offen bedeutet, dass Teile des Polygons zwar am Rand der Kreisscheibe, nicht aber im Inneren derselben liegen dürfen. Es ist leicht zu sehen, dass beide Definitionen äquivalent sind, siehe Abb. 7. Da der Rand eines Polygons P aus Strecken und aus Punkten, in denen sich diese Strecken treffen, besteht, wird der Abstand eines Punktes q ∈ E  im Inneren von P zu diesen Objekten gemessen.

Die schwarz gezeichneten Kurven sind jeweils Bilder des grau dargestellten Buchstaben G bei einer typischen Abbildung der entsprechenden Untergruppe. 6 Aufgaben 25 Abb. 6 Aufgaben 1. Gegeben seien zwei Punkte durch homogene Koordinatenvektoren p˜ , q˜ , deren nullte Koordinaten p˜  , q˜ jeweils positiv gewählt seien. Man zeige, dass dann der Punkt mit den homogenen Koordinaten p˜ + q˜ die Verbindungsstrecke im Verhältnis q˜ ∶ p˜  teilt! 2. Gegeben seien drei Punkte in der Ebene durch homogene Koordinatenvektoren p˜ i , i = , , , jeweils mit positiven nullten Koordinaten, p˜ i , > .

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