Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in by Dietrich Braess

By Dietrich Braess

Die Methode der Finiten Elemente wird heute verst?rkt zur numerischen L?sung von partiellen Differentialgleichungen eingesetzt. F?r die Darstellung der Finite-Elemente-Methode wird in diesem Lehrbuch die Variationsrechnung als nat?rlicher Rahmen gew?hlt. Die Elemente dieser Theorie werden so weit entwickelt, da? der Leser mit Kenntnissen aus den Grundvorlesungen des Mathematikstudiums auskommt. Die Praxis der Finite-Elemente-Rechnungen erfordert effiziente Gleichungsl?ser. Darum ist dem Mehrgitterverfahren und der Methode der konjugierten Gradienten ein breiter Platz einger?umt. Ausf?hrlich wird die Strukturmechanik als ein wichtiger und typischer Anwendungsbereich f?r Finite Elemente behandelt. "Den Abschlu? des Buches bildet ein Kapitel ?ber Finite Elemente in der Mechanik elastischer K?rper. Es handelt sich dabei um den f?r ein mathematisches Buch v?llig ungew?hnlichen, umsomehr hervorzuhebenden Versuch, sich mit speziellen Problemen auf einem der Hauptanwendungsgebiete der finiten Elemente auseinanderzusetzen. Damit wird ein wichtiger Beitrag zur Zusammenf?hrung der mathematischen und ingenieurwissenschaftlichen Forschung ... geleistet. Nach einer Einf?hrung in die Elastizit?tstheorie werden Scheiben-, Balken- und Plattenprobleme angegangen. Wichtige Ph?nomene wie z.B. Locking werden behandelt. Insbesondere gemischte Elemente werden als M?glichkeiten, das Locking zu ?berwinden, angeboten und ausf?hrlich behandelt. Insgesamt ist die Lekt?re des Buches sehr lohnenswert." (Zeitschrift f?r Flugwissenschaften und Weltraumforschung)

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Der Hilfssatz liiBt sich auf aile elliptischen Differentialgleichungen ubertragen, bei denen die Differenzenapproximation fUr Poly nome vom Grad 2 keine Diskretisierungsfehler liefert. In der Abschiitzung ist dann der Faktor ~ durch eine Zahl zu ersetzen, in we1che die Elliptizitiitskonstante eingeht. 5 Konvergenzsatz. Wenn die LOsung der Poisson-Gleichung eine C 2 -Funktion ist und die Ableitungen Uxx und Uyy in n gleichmiij3ig stetig sind, konvergieren die mit Hilfe des 5-Punkte-Sterns gewonnenen Niiherungen gegen die LOsung.

V ~ r- /" /' V \ / J Abb. 2. Gitter bei def Diskretisierung Ftir jeden Punkt Zi = (Xi, Yi) von Qh erhalt man durch die Auswertung der Differentialgleichung Lu = f eine Gleichung. Dabei werden die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt. Der betreffende Gitterpunkt wird als Zentrum betrachtet, und die Nachbarpunkte werden entsprechend den Himmelsrichtungen bezeichnet (s. Abb. 3). Ftir Punkte, deren Abstand vom Rand gr6Ber als h ist, haben die vier Nachbam einen einheitlichen Abstand (s.

7 Satz. Diejenigen LOsungen der Poisson-Gleichung, deren Ableitungen in n gleichmiij3ig stetig sind, seien dicht in der Menge {u E Lu = C(Q); U xx und U yy n. 5). 1) aus dem Laplace-Operator erhalt, und nh,O die Menge der (inneren) Punkte von nh, zu denen aIle 4 Nachbarn ebenfalls zu nh geh6ren. 3) die L6sung von Lh V = 1 in Lh V V nh \nh,O = 0 in nh,o = 0 auf anh. Man zeige (evtl. der Einfachheit halber fUr ein Quadrat) Os V S h 2 in nh. 8 Das Eigenwertproblem -Llu = AU in u =0 n= auf [0, If, an zur Poisson-Gleichung im Einheitsquadrat hat die EigenlOsungen Uke(X, y) = sinknx sininy, k, i = 1,2, ...

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