Grundthema der Algebra: Lie Algebren (Wintersemester 2012) by Karin Baur

By Karin Baur

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Die Umkehrung gilt auch: Satz (Hinreichende Bedingung). Sei λ ∈ H ∗ ein Gewicht mit λ(hi ) ∈ Z≥0 f¨ ur 1 ≤ i ≤ l. Dann ist der irreduzible L-Modul V = V (λ) endlich-dimensional und die Menge Π(λ) := Π(V (λ)) seiner Gewichte wird durch die Weylgruppe W permutiert; es ist dim V (λ)µ = dim V (λ)σµ f¨ur alle σ ∈ W . Ist λ ein solches Gewicht (wie im obigen Satz), so sagen wir, λ sei dominant integral (dominant f¨ ur λ(hi ) ≥ 0, integral f¨ ur λ(hi ) ∈ Z). h. der dominanten ganzzahligen linearen Funktionen auf H, bezeichnet man mit Λ+ .

1 von Humphreys. Beispiel. Betrachte den VR Rl+1 mit l+1 Basisvektoren εi . Sei E der l-dimensionale Unterraum von Rl+1 , der senkrecht ist zu ε1 + . . e. α ∈ E ⇐ α = ai εi l+1 mit ai = 0. Definiere das Gitter I ⊂ R als den Z-Spann der εi und setze I ′ := I ∩ E. Dann sei Φ := {α ∈ I ′ | (α, α) = 2} Behauptung 1: Φ = {εi − εj | i = j} Behauptung 2: Seien αi := εi − εi+1 (1 ≤ i ≤ l). ) Behauptung 3: Φ ist ein Wurzelsystem mit Diagramm Al (die positiven Wurzeln sind die εi − εj mit i < j, die negativen entsprechend mit i > j).

Das ist jedoch kein Problem. 1 die Weylgruppe transitiv auf der Menge der Basen operiert. Es kann gezeigt werden, dass die Cartanmatrix nicht singul¨ar ist, da ∆ eine Basis ist von E. Die Cartanmatrix bestimmt Φ eindeutig, wie wir nun sehen werden. Lemma. Ist Φ′ ⊂ E ′ ein Wurzelsystem mit Basis {α1′ , . . , αl′ } mit αi , αj = αi′ , αj′ f¨ur alle i, j. Sei ϕ die bijektive Abbildung, die αi nach αi′ schickt. Dann kann ϕ zu einem Isomorphismus E → E ′ mit ϕ(Φ) = Φ′ ausgedehnt werden, und es gilt ϕ(α), ϕ(β) = α, β f¨ur alle α, β ∈ Φ.

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